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이상엽/ 해석학/ 리만적분

리만적분

•
(사실 리만 적분은 다르부의 적분과 동일하고, 오히려 다르부 적분이 더 간편하기 때문에 일반적으로 다르부 적분을 이용해서 적분을 다루지만 안타깝게도 리만이 더 유명하기 때문에 리만 적분이라고 부른다.)

리만적분의 정의

Def 1. [분할과 세분]
[a,b][a, b]가 유계인 폐구간이고 a=x0<x1<x2<...<xn=ba = x_{0} < x_{1} < x_{2} < ... < x_{n} = b 일 때 P={x0,x1,...,xn}\mathcal{P} = \{ x_{0}, x_{1}, ... , x_{n} \}을 [a,b][a, b]의 분할이라 한다.
[a,b][a, b]의 분할 P\mathcal{P}와 P∗\mathcal{P}*에 대하여 P⊂P∗\mathcal{P} \subset \mathcal{P}*이면 P∗\mathcal{P}*를 P\mathcal{P}의 세분이라 한다.
Def 2. [상합과 하합]
ff가 [a,b][a, b]에서 유계일 때
P={x0,x1,...,xn}\mathcal{P} = \{ x_{0}, x_{1}, ... , x_{n} \}에 대해
Δxi=xi−xi−1\Delta x_{i} = x_{i} - x_{i - 1}
Mi=sup⁡{f(x)∣xi−1≤x≤xi}M_{i} = \sup \{ f(x) | x_{i-1} \leq x \leq x_{i} \}
mi=inf⁡{f(x)∣xi−1≤x≤xi}m_{i} = \inf \{ f(x) | x_{i-1} \leq x \leq x_{i} \} 로 나타내자
이때
1.
U(P,f)=∑i=1nMiΔxiU(\mathcal{P}, f) = \sum_{i=1}^{n} M_{i} \Delta x_{i}
2.
L(P,f)=∑i=1nmiΔxiL(\mathcal{P}, f) = \sum_{i=1}^{n} m_{i} \Delta x_{i}
을 각각 [a,b][a, b] 에서 ff의 상합과 하합이라 한다.
•
(MiM_{i}는 구간 내에서 가장 큰 사각형의 면적이고 이것들의 합이 상합 (아래 그림의 왼쪽) mim_{i} 은 구간 내에서 가장 작은 사각형의 면적이고 이것들의 합이 하합이다. (아래 그림의 오른쪽))
•
(실제 구간의 면적은 상합과 하합 사이의 값이 되고, 그 구간의 간격을 극한으로 보내면 상합과 하합의 면적의 차이를 줄일 수 있고 최종적으로 그 줄어든 값이 면적이 된다.)
Def 3. [상적분과 하적분]
ff가 [a,b][a, b] 에서 유계일 때 [a,b][a, b]의 분할 P\mathcal{P}에 대해
1.
∫ab‾f(x)dx=∫ab‾f=inf⁡{U(P,f)}\overline{\int_{a}^{b}} f(x) dx = \overline{\int_{a}^{b}} f = \inf \{ U(\mathcal{P}, f) \}
2.
∫ab‾f(x)dx=∫ab‾f=sup⁡{L(P,f)}\underline{\int_{a}^{b}} f(x) dx = \underline{\int_{a}^{b}} f = \sup \{ L(\mathcal{P}, f) \}
을 각각 [a,b][a, b]에서 ff의 상적분과 하적분이라 한다.
•
(구할 수 있는 상합들 중에서 하한이 상적분, 구할 수 있는 하합들 중에서 상한이 하적분이 된다.)
Thm.
다음 명제들이 성립한다.
1.
P∗\mathcal{P}*가 [a,b][a, b] 의 분할 P\mathcal{P}의 세분이면
•
L(P,f)≤L(P∗,f)≤U(P,f)≤U(P,f)L(\mathcal{P}, f) \leq L(\mathcal{P}*, f) \leq U(\mathcal{P}, f) \leq U(\mathcal{P}, f)
•
(원래 분할 보다 더 세분화 시킨 것(세분)의 하합과 상합은 원래 분할의 하합과 상합의 사이에 온다.)
2.
[a,b][a, b]의 임의의 두 분할 P1,P2\mathcal{P}_{1}, \mathcal{P}_{2}에 대하여 L(P1,f)≤U(P2,f)L(\mathcal{P}_{1}, f) \leq U(\mathcal{P}_{2}, f)이다.
•
(임의의 두 분할에서 한쪽 분할의 상합은 다른쪽 분할의 하합 보다 항상 크다.)
3.
ff가 [a,b][a, b]에서 유계이면
•
∫ab‾f≤∫ab‾f\underline{\int_{a}^{b}} f \leq \overline{\int_{a}^{b}} f
Def 4. [리만적분가능성]
ff가 [a,b][a, b]에서 유계일 때
∫ab‾f=∫ab‾f\underline{\int_{a}^{b}} f = \overline{\int_{a}^{b}} f
이면 ff가 [a,b][a, b]에서 리만적분가능하다고 하며
∫abf(x)dx=∫abf=∫ab‾f=∫ab‾f\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f = \underline{\int_{a}^{b}} f = \overline{\int_{a}^{b}} f
로 표현한다. 또한 [a,b][a, b] 에서 유계인 리만적분가능한 함수 ff들의 집합을 R[a,b]\mathfrak{R} [a, b] 로 나타낸다 (f∈R[a,b]f \in \mathfrak{R} [a, b])
•
(상적분 값과 하적분 값이 같게 되면 리만적분 가능하다고 한다. 둘이 같게 되지 않은 경우도 있음.)
•
(리만적분이 불가능하다고 해서 적분 자체가 안되는 것은 아니다. 다른 적분법을 이용하면 적분이 가능할 수 있음.)

주요 정리

Thm 1. [리만적분 판별법]
ff가 [a,b][a, b]에서 유계일 때 다음이 성립한다. (P\mathcal{P}는 [a,b][a, b]의 분할)
f∈R[a,b]f \in \mathfrak{R} [a, b]
⇔∀ϵ>0,∃Ps.t.U(P,f)−L(P,f)<ϵ\Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists \mathcal{P} s.t. U(\mathcal{P}, f) - L(\mathcal{P}, f) < \epsilon
•
(상합과 하합의 차이가 ϵ\epsilon 보다 작아지면 리만적분 가능하다 = 상적분과 하적분의 값이 같다.)
Thm 2. [연속성과 리만적분가능성]
ff가 [a,b][a, b] 에서 연속이면 f∈R[a,b]f \in \mathfrak{R} [a, b] 이다.
•
(연속이면 리만적분 가능하다. 연속이라고 미분은 안되는데, 연속이면 적분이 됨)
•
(불연속이어도 리만적분 가능한 경우가 있다)
Thm 3. [적분의 평균값 정리]
ff가 [a,b][a, b] 에서 연속이면
∫abf=f(c)(b−a)\int_{a}^{b} f = f(c)(b-a) 인 c∈(a,b)c \in (a, b)가 존재한다.

리만적분의 연산

•
f,g∈R[a,b]f, g \in \mathfrak{R} [a, b] 이면 다음이 성립한다.
◦
∫ab(f±g)=∫abf±∫abg\int_{a}^{b} (f \pm g) = \int_{a}^{b} f \pm \int_{a}^{b} g (복부호동순)
•
f∈R[a,b]f \in \mathfrak{R} [a, b]
◦
⇔∀c∈(a,b),f∈R[a,c]∧f∈R[c,b]\Leftrightarrow \forall c \in (a, b), f \in \mathfrak{R}[a, c] \wedge f \in \mathfrak{R}[c, b]
◦
with ∫abf=∫acf+∫cbf\int_{a}^{b} f = \int_{a}^{c} f + \int_{c}^{b} f

미적분학의 기본정리

제 1 기본정리

Def. [부정적분]
f∈R[a,b]f \in \mathfrak{R} [a, b] 일 때 x∈[a,b]x \in [a, b] 에 대하여
F(x)=∫axf(t)dtF(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt
로 정의한 함수 FF를 [a,b][a, b]에서 ff의 부정적분이라 한다.
Thm. [미적분학의 제 1 기본정리]
f∈R[a,b]f \in \mathfrak{R} [a, b] 이면 ff와 [a,b][a, b] 에서 ff의 부정적분 FF에 대하여 다음이 성립한다.
1.
FF는 [a,b][a, b]에서 균등연속이다.
2.
ff가 [a,b][a, b]에서 연속이면 FF는 [a,b][a, b]에서 미분가능하고 ∀x∈[a,b],F′(x)=f(x)\forall x \in [a, b], F'(x) = f(x) 이다.
•
(미분과 적분의 연산이 역관계를 갖는다는 의미)
•
(이를 최초로 발견한 사람은 이탈리아 수학자였던 토리첼리. 이를 좀 더 일반화한 사람이 뉴턴의 스승이었던 아이작 배로)

제 2 기본정리

Def. [역도함수]
DD가 구간이고 f,F:D→Rf, F : D \to \mathbb{R}가 모든 x∈Dx \in D 에 대하여 F′(x)=f(x)F'(x) = f(x)이면 FF를 ff의 역도함수라 한다.
Thm. [미적분학의 제 2 기본정리]
f∈R[a,b]f \in \mathfrak{R} [a, b] 이고 F:[a,b]→RF : [a, b] \to \mathbb{R}가 [a,b][a, b]에서 연속이고 (a,b)(a, b)에서 미분가능하다고 하자. 이때 FF가 ff의 역도함수이면 다음이 성립한다.
∫abf=F(b)−F(a)\int_{a}^{b} f = F(b) - F(a)

따름정리

Thm 1. [치환적분법]
gg가 [a,b][a, b]에서 미분가능하고 g′∈R[a,b]g' \in \mathfrak{R} [a, b]이며 ff가 g([a,b])g([a, b])에서 연속이면 다음이 성립한다.
∫abf(g(t))g′(t)dt=∫g(a)g(b)f(x)dx\int_{a}^{b} f(g(t))g'(t) dt = \int_{g(a)}^{g(b)} f(x) dx
Thm 2. [부분적분법]
f,g:[a,b]→Rf, g: [a, b] \to \mathbb{R}가 [a,b][a, b] 에서 연속이고 (a,b)(a, b)에서 미분가능하며 f′,g′∈R[a,b]f', g' \in \mathfrak{R} [a, b] 이면 다음이 성립한다.
∫abf′g={f(b)g(b)−f(a)g(a)}−∫abfg′\int_{a}^{b} f' g = \{ f(b)g(b) - f(a)g(a) \} - \int_{a}^{b} f g'

리만적분의 확장

•
(리만적분으로는 면적을 구할 수 없는 경우가 많아서 수학자들이 새로 방법을 정의한 것들이 다른적분 방법들)

특이적분

•
(이상 적분이라고도 함. 적분 구간이 유계인 폐구간이 아니거나 f가 유계가 아닌 경우에도 사용할 수 있는 적분 방법)
Def 1. [(a,b](a, b] 또는 [a,b)[a, b) 의 경우]
1.
f:(a,b]→Rf : (a, b] \to \mathbb{R}가 임의의 c∈(a,b)c \in (a, b)에 대하여 f∈R[c,b]ff \in \mathfrak{R} [c, b]f 이면 (a,b](a, b]에서 ff의 특이적분은 ∫abf=lim⁡c→a+∫cbf\int_{a}^{b} f = \lim_{c \to a+} \int_{c}^{b} f로 정의한다.
•
f:[a,b)→Rf : [a, b) \to \mathbb{R}의 경우 ∫abf=lim⁡c→b−∫acf\int_{a}^{b} f = \lim_{c \to b-} \int_{a}^{c} f
2.
1에서 우변의 극한이 존재하면 각 구간에 대해 ff는 특이적분가능하다고 한다.
3.
f:[a,b]−{c}→Rf : [a, b] - \{ c \} \to \mathbb{R}가 [a,c)[a, c)와 (c,b](c, b]에서 특이적분가능하면 ff는 [a,b][a, b]에서 특이적분가능하다고 하고 ∫abf=lim⁡p→c−∫apf+lim⁡q→c+∫qbf\int_{a}^{b} f = \lim_{p \to c-} \int_{a}^{p} f + \lim_{q \to c+} \int_{q}^{b} f 로 정의한다.
•
(폐구간이 아니기 때문에 중간에 폐구간이 되는 점을 잡고 그 점을 개구간으로 향하는 극한을 취함)
Def 2. [a,∞)[a, \infty) 또는 (−∞,b](-\infty, b] 의 경우]
1.
f:[a,∞)→Rf : [a, \infty) \to \mathbb{R}가 a<ca < c 인 임의의 c∈Rc \in \mathbb{R} 에 대하여 f∈R[a,c]f \in \mathfrak{R} [a, c] 이면 [a,∞)[a, \infty)에서 ff의 특이적분은 ∫a∞f=lim⁡c→∞∫acf\int_{a}^{\infty} f = \lim_{c \to \infty} \int_{a}^{c} f로 정의한다.
•
f:(−∞,b]→Rf : (-\infty, b] \to \mathfrak{R} 의 경우 ∫−∞bf=lim⁡c→−∞∫cbf\int_{-\infty}^{b} f = \lim_{c \to -\infty} \int_{c}^{b} f
2.
1에서 우변의 극한이 존재하면 각 구간에 대해 ff는 특이적분가능하다고 한다.
3.
ff가 적당한 p∈Rp \in \mathbb{R} 에 대하여 (−∞,p](-\infty, p] 와 [p,∞)[p, \infty) 에서 특이적분가능하면 ff는 R\mathbb{R} 에서 특이적분가능하다고 하고 ∫−∞∞f=∫−∞pf+∫p∞f\int_{-\infty}^{\infty} f = \int_{-\infty}^{p} f + \int_{p}^{\infty} f 로 정의한다.
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(위와 비슷하게 정의. 폐구간 점보다 큰 임의의 점을 잡아서 적분 가능한지 확인하고 그 임의의 점을 무한으로 향하는 극한을 취함)

스틸체스적분

•
(∫f(x)dg(x)\int f(x) dg(x)의 꼴로 표현되는 형태로 g(x)g(x)는 증가함수로 정의됨)
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(g(x)g(x)가 xx가 되면 리만적분의 형태가 되기 때문에 리만적분의 일반화된 버전으로 생각할 수 있다.)
•
(리만적분은 연속이어야 가능하지만, 스틸체스적분은 불연속적인 것에 대해서도 적분이 가능하다. g(x)g(x)를 불연속적인 함수로 잡으면 되기 때문)
Def 1. [스틸체스 상합과 하합]
[a,b][a, b]에서 유계인 함수 ff와 증가함수 α,[a,b]\alpha, [a, b]의 분할 P={x0,x1,...,xn}\mathcal{P} = \{ x_{0}, x_{1}, ... , x_{n} \} 과 Δαi=α(xi)−α(xi−1)\Delta \alpha_{i} = \alpha(x_{i}) - \alpha(x_{i-1})에 대하여
1.
U(P,f,α)=∑i=1nMiΔαiU(\mathcal{P}, f, \alpha) = \sum_{i = 1}^{n} M_{i} \Delta \alpha_{i}
2.
L(P,f,α)=∑i=1nMiΔαiL(\mathcal{P}, f, \alpha) = \sum_{i = 1}^{n} M_{i} \Delta \alpha_{i}
을 각각 α\alpha에 관한 ff의 스틸체스상합, 스틸체스하합이라 한다. (i=1,2,...,ni = 1, 2, ... , n)
Def 2. [스틸체스 상적분과 하적분]
[a,b][a, b]에서 유계인 함수 ff와 증가함수 α,[a,b]\alpha, [a, b]의 분할 P\mathcal{P}에 대하여
1.
∫ab‾fdα=inf⁡{U(P,f,α)}\overline{\int_{a}^{b}} f d\alpha = \inf \{ U(\mathcal{P}, f, \alpha) \}
2.
∫ab‾fdα=sup⁡{L(P,f,α)}\underline{\int_{a}^{b}} f d\alpha = \sup \{ L(\mathcal{P}, f, \alpha) \}
을 각각 α\alpha에 관한 ff의 스틸체스 상적분과 스틸체스 하적분이라 한다.
Def 3. [스틸체스 적분 가능성]
ff가 [a,b][a, b]에서 유계이고 α\alpha가 [a,b][a, b]에서 증가함수 일 때
∫ab‾fdα=∫ab‾fdα\overline{\int_{a}^{b}} f d\alpha = \underline{\int_{a}^{b}} f d\alpha
이면 ff는 [a,b][a, b]에서 α\alpha에 관하여 스틸체스적분가능하다고 하며
∫abfdα=∫ab‾fdα=∫ab‾fdα\int_{a}^{b} f d\alpha = \overline{\int_{a}^{b}} f d\alpha = \underline{\int_{a}^{b}} f d\alpha
로 표현하고 이를 α\alpha 에 관한 ff의 스틸체스적분이라 한다. (f∈Rα[a,b]f \in \mathfrak{R}_{\alpha} [a, b])
Thm.
f∈R[a,b]f \in \mathfrak{R} [a, b] 이고 α\alpha가 [a,b][a, b]에서 증가하고 미분가능한 함수이며 α′∈Rα[a,b]\alpha ' \in \mathfrak{R}_{\alpha} [a, b]이면 f∈Rα[a,b]f \in \mathfrak{R}_{\alpha} [a, b] 이고 다음이 성립한다.
∫abfdα=∫abf(x)α′(x)dx\int_{a}^{b} f d \alpha = \int_{a}^{b} f(x) \alpha '(x) dx
•
(리만 적분은 스틸체스 적분의 α=x\alpha = x인 지점이므로 ∫abf(x)x′dx\int_{a}^{b} f(x) x' dx이 되고 x′=1x' = 1 이므로 결과적으로 ∫abf(x)dx\int_{a}^{b} f(x) dx의 꼴이 된다)
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