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이상엽/ 집합론/ 집합의 확장

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(용어 정리 생략)

집합족

집합족(Family)이란?

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집합족
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집합을 원소로 갖는 집합 (ex 멱집합)
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집합족은 F로 표기
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첨수족
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첨수(번호)가 부여된 대상들로 이루어진 집합. 집합족의 표현을 간단하게 하기 위해 만든 개념.
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첨수족은 I로 표기
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ex) 집합 A={1,2}A = \{ 1, 2 \} 에 대하여
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멱집합은 P(A)={∅,{1},{2},{1,2}}P(A) = \{ \emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\} \} 가 되고, 이를 집합족 F라 정의
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집합족 F에 속하는 각각의 집합에 Index를 붙여서 표현하면
◦
F={A1,A2,A3,A4}={Ai∣i∈I}F = \{ A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4} \} = \{ A_{i} | i \in I \} 가 되고 여기의 I를 첨수족이라 부른다.

집합족의 연산

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∪F=∪A∈FA=A1∪A2∪...={x∣∃A∈F,x∈A}\cup F = \cup_{A \in F} A = A_{1} \cup A_{2} \cup ... = \{ x | \exists A \in F, x \in A \}
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∩F=∩A∈FA=A1∩A2∩...={x∣∀A∈F,x∈A}\cap F = \cap_{A \in F} A = A_{1} \cap A_{2} \cap ... = \{ x | \forall A \in F, x \in A \}
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ex) 집합족 F={{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5}}F = \{ \{ 1, 2, 3 \}, \{ 2, 3, 4 \}, \{ 3, 4, 5 \} \} 에 대하여
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∪F={1,2,3,4,5}\cup F = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \}
◦
∩F={3}\cap F = \{ 3 \}
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위 집합족을 첨수집합으로 표기하면 F={A1,A2,A3}F = \{ A_{1}, A_{2}, A_{3} \} 가 되고, 합집합과 교집합은 다음과 같이 표기 가능하다.
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∪i=13Ai=∪i∈IAi\cup_{i=1}^{3} A_{i} = \cup_{i \in I} A_{i}
▪
∩i=13Ai=∩i∈IAi\cap_{i=1}^{3} A_{i} = \cap_{i \in I} A_{i}
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quiz) 만일 첨수족 I에 대하여 I=∅I = \emptyset 이라면
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∪i∈IAi=∅\cup_{i \in I} A_{i} = \emptyset
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∩i∈IAi=U\cap_{i \in I} A_{i} = U
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첨수집합 I의 합집합은 공집합이 되지만, 교집합은 전체집합이 된다.

드모르간 법칙

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(∪A∈FA)=∩A∈FAc(\cup_{A \in F} A) = \cap_{A \in F} A^{c}
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(∩A∈FA)=∪A∈FAc(\cap_{A \in F} A) = \cup_{A \in F} A^{c}

분배법칙

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A∩(∪B∈FB)=∪B∈F(A∩B)A \cap (\cup_{B \in F} B) = \cup_{B \in F} (A \cap B)
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A∪(∩B∈FB)=∩B∈F(A∪B)A \cup (\cap_{B \in F} B) = \cap_{B \in F} (A \cup B)

곱집합

곱집합이란?

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순서쌍은 순서가 중요한 반면, 집합은 순서가 중요하지 않다. 순서쌍을 집합에 적용하기 위해 다음과 같이 정의한다.
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순서쌍
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(a,b)={{a},{a,b}}(a, b) = \{ \{a\}, \{a, b\}\}
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ex) (1, 2) 라는 순서쌍을 집합으로 표현하면 다음과 같다.
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{{1},{1,2}}\{ \{1\}, \{1, 2\}\}
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집합 자체에는 순서가 없기 때문에 위의 결과는 다음과도 동일하다.
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{{1},{1,2}}={{1},{2,1}}={{2,1},{1}}=...\{ \{1\}, \{1, 2\}\} = \{ \{1\}, \{2, 1\}\} = \{ \{2, 1\}, \{1\} \} = ...
▪
역으로 { {2, 3}, {3} } 이라는 집합은 (3, 2)와 대응되는데, 기본 원칙은 겹치는 것이 먼저 나오고, 그렇지 않은 것이 나중에 나오는 식으로 표기한다.
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곱집합
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A×B={(x,y)∣x∈A∧y∈B}A \times B = \{ (x, y) | x \in A \wedge y \in B \}
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ex) A = { 1, 2 }, B = { 3, 4 } 일 때, 순서쌍의 곱은 다음과 같다.
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A×B={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}A \times B = \{ (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4) \}
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A×A×A={(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2),(2,1,1),(2,1,2),(2,2,1),(2,2,2)}A \times A \times A = \{ (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (2, 2, 2) \}

곱집합의 연산

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A×∅=∅×A=∅A \times \emptyset = \emptyset \times A = \emptyset
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A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)
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A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)
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A×(B−C)=(A×B)−(A×C)A \times (B - C) = (A \times B) - (A \times C)

집합족의 공집합

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임의의 집합족 F가 첨수집합 I에 의해 첨수화된 첨수족 {Ai∣i∈I}\{ A_{i} | i \in I \} 의 곱집합 ΠAi\Pi A_{i} 는 다음과 같다.
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ΠAi=A1×A2×...={(ai)i∈I∣∀i∈I,ai∈Ai}\Pi A_{i} = A_{1} \times A_{2} \times ... = \{ (a_{i})_{i \in I} | \forall i \in I, a_{i} \in A_{i} \}
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