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선형대수/ 선형 변환(Linear Transformation)과 행렬 표현, Nullity, Rank

선형 변환(Linear Transformation)

•
VV와 WW가 모두 FF-벡터공간이라고 하자. 모든 x,y∈V,c∈F\bold{x, y} \in V, c \in F에 대해 다음을 만족하는 함수 T:V→WT : V \to W를 VV에서 WW로 가는 선형변환(linear transformation)이라고 한다.
1.
T(x+y)=T(x)+T(y)T(\bold{x}+ \bold{y}) = T(\bold{x}) + T(\bold{y})
2.
T(cx)=cT(x)T(c\bold{x}) = cT(\bold{x})
•
벡터 합과 스칼라 곱의 결과가 변환 전과 변환 후에 동일하다면 선형이라고 한다.
•
TT가 선형이면 x,y∈V,c∈F\bold{x, y} \in V, c \in F에 대해 다음을 만족한다.
1.
T(0)=0T(\bold{0}) = \bold{0}이다.
2.
T(cx+y)=cT(x)+T(y)T(c\bold{x}+ \bold{y}) = cT(\bold{x}) + T(\bold{y})
3.
T(x−y)=T(x)−T(y)T(\bold{x} - \bold{y}) = T(\bold{x}) - T(\bold{y})
4.
T(∑i=1naixi)=∑i=1naiT(xi)T(\sum_{i=1}^{n} a_i \bold{x}_i) = \sum_{i=1}^{n} a_i T(\bold{x}_i)
•
FF-벡터공간에 V,WV, W에 대해
◦
모든 x∈V\bold{x} \in V에 대해 IV(x)=xI_V(\bold{x}) = \bold{x}이면 항등변환(identity transformation) IV:V→VI_V : V \to V이라 한다.
◦
모든 x∈V\bold{x} \in V에 대해 T0(x)=0T_0(x) = \bold{0}이면 영변환(zero transformation) T0:V→WT_0 : V \to W이라 한다.
•
V,WV, W는 통상적인 체에서의 벡터공간이고, β\beta는 VV의 기저라 하자.
◦
임의의 함수 f:β→Wf : \beta \to W에 대하여 T(x)=f(x)T(\bold{x}) = f(\bold{x}) (단 x\bold{x}는 β\beta의 임의의 벡터)인 선형변환 T:V→WT : V \to W가 유일하게 존재한다.
•
두 벡터공간 V,WV, W에서 정의된 함수 T:V→WT : V \to W는 모든 x,y∈V\bold{x,y} \in V에 대하여 다음이 성립할 때 가법적(additive)라 한다.
◦
가법적이지만 선형이 아닌 함수가 존재할 수 있다.
T(x+y)=T(x)+T(y)T(\bold{x} + \bold{y}) = T(\bold{x}) + T(\bold{y})
•
선형 변환은 그냥 함수라고 생각하면 간편하다. VV라는 벡터 집합을 WW라는 벡터 집합을 대응시키는 함수이고 그 대응에 대해 T(x)+T(y)=T(x+y)T(\bold{x}) + T(\bold{y}) = T(\bold{x + y})와 cT(x)=T(cx)cT(\bold{x}) = T(c\bold{x})가 만족되면 이 함수를 선형 함수라고 할 수 있는 것.
◦
선형으로 사상하는 함수라고 생각하면 공역의 0에 사상하는 정의역의 집합을 널 집합(공간), 정의역의 모든 원소에 대응되는 공역의 집합을 range 집합(공간)(치역)으로 이해할 수 있다.
•
참고로 벡터 공간 VV를 다른 벡터 공간 WW로 매핑하는 선형 변환에 대비하여 벡터 공간 VV를 체 FF의 스칼라로 매핑하는 함수들을 선형 범함수(linear functctional)이라고 하고 이 선형 범함수들의 집합을 쌍대 공간(dual space)라고 한다.

널 공간(null space), 상 공간(range space)

•
벡터공간 V,WV, W와 선형변환 T:V→WT: V \to W에 대해
•
널 공간(null space, 영 공간이라고도 함) 또는 kernel은 T(x)=0T(\bold{x}) = \bold{0}인 x∈V\bold{x} \in V를 원소로 가지는 집합이고, N(T)N(T)라 표기한다.
◦
집합으로 나타내면 N(T)={x∈V:T(x)=0}N(T) = \{ \bold{x} \in V: T(\bold{x}) = \bold{0} \}이다.
◦
다시 말해 선형 변환 하면 영벡터가 되는 벡터 x∈V\bold{x} \in V들의 집합이다.
◦
당연한 말이지만 N(T)N(T)는 VV의 부분공간이다.
•
상 공간(range) 또는 image는 TT의 함숫값을 원소로 가지는 WW의 부분집합이고 R(T)R(T)라 표기한다.
◦
집합으로 나타내면 R(T)={T(x):x∈V}R(T) = \{ T(\bold{x}) : \bold{x} \in V \}이다.
◦
다시 말해 WW의 벡터 중에 VV에 대응되는 벡터가 존재하는 벡터 T(x)∈WT(\bold{x}) \in W들의 집합이다.
◦
당연한 말이지만 R(T)R(T)는 WW의 부분공간이다.
•
벡터공간 V,WV, W와 항등변환 I:V→VI : V \to V, 영변환 T0:V→WT_0 : V \to W에 대해 다음이 성립한다.
1.
N(I)={0}N(I) = \{ \bold{0}\}
•
자기 자신으로 가는 변환의 널공간에 속하는 것은 영벡터 뿐이다.
2.
R(I)=VR(I) = V
•
자기 자신으로 가는 변환의 상공간에 속하는 것은 VV 전체이다.
3.
N(T0)=VN(T_0) = V
•
0으로 가는 변환의 널공간에 속하는 것은 VV 전체이다.
4.
R(T0)={0}R(T_0) = \{ \bold{0}\}
•
0으로 가는 변환의 상공간에 속하는 것은 영벡터 뿐이다.
•
벡터공간 V,WV, W와 선형 변환 T:V→WT : V \to W, 기저 β={v1,v2,...,vn}\beta = \{ \bold{v}_1, \bold{v}_2,...,\bold{v}_n\}에 대해 다음이 성립한다.
◦
선형변환의 range은 기저의 선형 변환을 span 한 것과 같다.
R(T)=span(T(β))=span({T(v1),T(v2),...,T(vn)})R(T) = \text{span}(T(\beta)) = \text{span}(\{T(\bold{v}_1), T(\bold{v}_2), ..., T(\bold{v}_n) \})

Nullity, Rank

•
벡터공간 V,WV, W와 선형 변환 T:V→WT : V \to W에 대하여 N(T)N(T)와 R(T)R(T)가 유한차원이라 가정하자.
◦
N(T)N(T)의 차원을 nullity라 하고 nullity(T)\text{nullity}(T)라 표기한다.
◦
R(T)R(T)의 차원을 rank라 하고 rank(T)\text{rank}(T)라 표기한다.
◦
차원은 기저의 수를 의미하므로 null space의 기저의 수가 nullity(T), range space의 기저의 수가 rank(T)가 된다.
•
벡터공간 V,WV, W와 선형 변환 T:V→WT : V \to W에 대하여 VV이 유한차원이면 다음이 성립한다.
nullity(T)+rank(T)=dim⁡(V)\text{nullity}(T) + \text{rank}(T) = \dim(V)
•
벡터공간 V,WV, W와 선형 변환 T:V→WT : V \to W에 대하여 다음이 성립한다.
T가 단사⇔N(T)={0}T \text{가 단사} \Leftrightarrow N(T) = \{ \bold{0}\}
•
유한차원 벡터공간 V,WV, W의 차원이 같을 때, 선형변환 T:V→WT : V \to W에 대해 다음 3가지 명제는 동치이다.
1.
TT는 단사이다.
2.
TT는 전사이다.
3.
rank(T)=dim⁡(V)\text{rank}(T) = \dim(V)
•
FF-벡터공간 V,WV, W와 VV의 기저 {v1,v2,...,vn}\{\bold{v}_1, \bold{v}_2,...,\bold{v}_n\}가 있을 때, 벡터 {w1,w2,...,wn}∈W\{\bold{w}_1, \bold{w}_2,...,\bold{w}_n\} \in W에 대해 다음 조건을 만족하는 선형변환 T:V→WT : V \to W가 유일하게 존재한다.
T(vi)=wi (i=1,...,n)T(\bold{v}_i) = \bold{w}_i \ (i = 1,...,n)
•
두 벡터공간 V,WV, W에 대해 VV가 유한집합인 기저 {v1,v2,...,vn}\{\bold{v}_1, \bold{v}_2,...,\bold{v}_n\}를 가진다고 할 때, 두 선형변환 U,T:V→WU, T : V \to W가 i=1,...,ni = 1,...,n에서 U(vi)=T(vi)U(\bold{v}_i) = T(\bold{v}_i)를 만족하면 U=TU = T이다.

선형 변환의 행렬 표현

•
유한 차원 벡터공간 VV의 순서기저(ordered basis)는 순서가 주어진 기저이다. 즉 선형독립이며 VV를 생성하는 벡터들로 이루어진 유한 수열을 순서기저라 한다.
•
벡터공간 FnF^n에서 {e1,e2,...,en}\{ \bold{e}_1, \bold{e}_2,...,\bold{e}_n\}을 FnF^n의 표준 순서기저(standard ordered basis)라 한다.
◦
비슷한 방식으로 Pn(F)P_n(F)에서 {1,x,...,xn}\{1, x,...,x^n\}을 Pn(F)P_n(F)의 표준순서기저라 한다.
•
유한차원 벡터공간 VV의 원소 x∈V\bold{x}\in V에 대하여, x\bold{x}를 VV의 순서기저 β={u1,u2,...,un}\beta = \{ \bold{u}_1, \bold{u}_2,...,\bold{u}_n\}와 스칼라 {a1,a2,...,an}\{ a_1, a_2,...,a_n\}의 선형 결합 x=∑i=1naiui\bold{x} = \sum_{i=1}^{n} a_i \bold{u}_i으로 나타낼 때, 기저에 곱해지는 계수를 벡터로 표현한 것을 β\beta에 대한 x\bold{x}의 좌표 벡터 [x]β[\bold{x}]_\beta라하고 아래와 같이 나타낸다.
◦
벡터에는 기저는 제외하고 계수만 표현. 기저는 벡터의 아래 첨자에만 표기.
[x]β=(a1a2⋮an)[\bold{x}]_\beta = \left( \begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{matrix} \right)
•
유한차원 벡터공간 V,WV,W와 각각의 순서기저 β={v1,v2,...,vn}\beta = \{ \bold{v}_1, \bold{v}_2,...,\bold{v}_n \}와 γ={w1,w2,...,wm}\gamma = \{ \bold{w}_1, \bold{w}_2,...,\bold{w}_m \}, 선형 변환 T:V→WT : V \to W를 생각하자.
◦
j=1,...,nj = 1,...,n일 때, jj마다 다음을 만족하는 유일한 스칼라 aij∈F (i=1,...,m)a_{ij} \in F \ (i=1,...,m)가 존재한다.
T(vj)=∑i=1maijwi (j=1,...,n)T(\bold{v}_j) = \sum_{i=1}^{m} a_{ij} \bold{w}_i \ (j = 1,...,n)
•
VV의 기저 1개에 대한 선형 변환 T(vj)T(\bold{v}_j)을 WW의 기저 γ={w1,w2,...,wm}\gamma = \{ \bold{w}_1, \bold{w}_2,...,\bold{w}_m \}와 그 계수의 선형 결합으로 표현하면, mm 크기의 좌표 벡터 (열벡터) 1개가 표현되는데,
◦
VV의 기저가 nn개만큼 존재 하므로 mm 크기의 열벡터가 nn개 만큼 존재하여 총 m×nm \times n의 표현이 된다.
•
성분이 Aij=aijA_{ij} = a_{ij}인 m×nm \times n 행렬 A\bold{A}를 순서기저 β\beta와 γ\gamma에 대한 선형변환 TT의 행렬표현(matrix representation) 이라 하고 A=[T]βγ\bold{A} = [T]_\beta^\gamma라 표기한다.
◦
V=W,β=γV = W, \beta = \gamma이면 간단히 A=[T]β\bold{A} = [T]_\beta라 표기한다.
•
벡터공간의 순서기저에 대한 선형변환이 바로 행렬이다. 벡터공간에 대한 변환을 하기 때문에, 그 공간 안에 존재하는 벡터도 그에 따라 변환이 된다.
◦
벡터공간의 선형 변환에 대해서는 참조 항목의 영상이 잘 시각화 되어 있으므로 참조
•
행렬의 Rank는 선형 독립인 열벡터 (혹은 행벡터)의 최대 개수를 의미한다.
◦
행렬에서 (열 혹은 행) 벡터의 선형 독립은 행렬의 나머지 (열 혹은 행) 벡터의 선형 결합으로 표현이 가능한지의 여부이다. 가능하면 선형 종속이고, 불가능하면 선형 독립이다.
◦
행렬을 선형 변환 관점에서 볼 때, VV의 모든 기저를 선형 변환 T(vj)T(v_j)한 후 WW의 기저의 선형 결합으로 표현한 것이 행렬이므로, 행렬의 열 공간은 선형 변환 TT의 상공간이 된다. 고로 행렬의 열 중 선형 독립인 열은 상공간의 기저를 형성할 수 있다.
•
유한차원 벡터공간 V,WV,W의 각각의 순서기저 β={v1,v2,...,vn}\beta = \{ \bold{v}_1, \bold{v}_2,...,\bold{v}_n \}와 γ={w1,w2,...,wm}\gamma = \{ \bold{w}_1, \bold{w}_2,...,\bold{w}_m \}에 대하여
◦
T0(vj)=0=0w1+0w2+...+0wmT_0(\bold{v}_j) = \bold{0} = 0 \bold{w}_1 + 0\bold{w}_2 + ... + 0\bold{w}_m이므로 [T0]βγ=0[T_0]_\beta^\gamma = \bold{0}다. 이것은 m×nm \times n 영행렬이다.
◦
또한 IV(vj)=vj=0v1+0v2+...+1vj+...+0wmI_V(\bold{v}_j) = \bold{v}_j = 0 \bold{v}_1 + 0\bold{v}_2 + ... + 1\bold{v}_j + ... + 0\bold{w}_m 이므로 [IV]β=(10...001...0⋮⋮⋮00...1)[I_V]_\beta = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 1 & ... & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & ... & 1 \end{matrix} \right)이다. 이것은 n×nn \times n 항등행렬이다.
•
크로네커 델타(Kronecker delta)는 표기법으로 다음과 같이 정의한다.
δij={1i=j0i≠j\delta_{ij} = \begin{cases} 1 & i = j \\ 0 & i \neq j \end{cases}
•
n×nn \times n 항등행렬 In\bold{I}_n의 성분은 (In)ij=δij(I_n)_{ij} = \delta_{ij}이다. 가리키는 것이 명확하면 아래첨자를 생략하고 I\bold{I}라고 쓰기도 한다.
•
유한차원 벡터공간 VV와 순서기저 β\beta, 선형변환 T:V→VT : V \to V에 대해, 음이 아닌 임의의 정수 kk에 대하여 다음이 성립한다.
[Tk]β=([T]β)k[T^k]_\beta = ([T]_\beta)^k

선형 변환의 선형성

•
FF-벡터공간 V,WV,W사이에 정의된 임의의 함수 T,U:V→WT, U : V \to W와 스칼라 a∈Fa \in F에 대하여 두 함수의 합 T+U:V→WT + U : V \to W과 스칼라 곱 aT:V→WaT : V \to W은 다음과 같이 정의한다.
◦
합) 모든 x∈V\bold{x} \in V에 대하여 (T+U)(x)=T(x)+U(x)(T+U)(\bold{x}) = T(\bold{x}) + U(\bold{x})
◦
스칼라 곱) 모든 x∈V\bold{x} \in V에 대하여 (aT)(x)=aT(x)(aT)(\bold{x}) = aT(\bold{x})
•
FF-벡터공간 V,WV,W와 선형 변환 T,U:V→WT, U : V \to W에 대해 다음이 성립한다.
1.
임의의 a∈Fa \in F에 대해 aT+UaT + U는 선형이다.
2.
선형변환의 합과 스칼라 곱을 따를 때, VV에서 WW로 가는 모든 선형변환의 집합은 FF-벡터공간이다.
•
FF-벡터공간 V,WV,W에 대하여 VV에서 WW로 가는 모든 선형변환의 모임으로 이루어진 벡터공간을 L(V,W)\mathcal{L}(V, W)라 표기한다.
◦
V=WV = W이면 L(V,V)\mathcal{L}(V,V)를 간단히 L(V)\mathcal{L}(V)라 표기한다.
•
유한차원 벡터공간 V,WV,W와 각각의 순서기저 β,γ\beta, \gamma, 선형변환 T,U:V→WT, U:V \to W에 대해 다음이 성립한다.
1.
[T+U]βγ=[T]βγ+[U]βγ[T + U]_\beta^\gamma = [T]_\beta^\gamma + [U]_\beta^\gamma
2.
a∈Fa \in F에 대하여 [aT]βγ=a[T]βγ[aT]_\beta^\gamma = a[T]_\beta^\gamma

선형변환의 합성과 행렬 곱

•
FF-벡터공간 V,W,ZV,W,Z와 선형 변환 T:V→W,U:W→ZT:V \to W, U:W \to Z가 존재할 때, 두 선형변환의 합성 UT:V→ZUT:V \to Z는 선형변환이다.
•
벡터공간 VV와 선형변환 T,U1,U2∈L(V)T, U_1, U_2 \in \mathcal{L}(V)에 대해 다음이 성립한다.
1.
T(U1+U2)=TU1+TU2T(U_1 + U_2) = TU_1 + TU_2
2.
(U1+U2)T=U1T+U2T(U_1+U_2)T = U_1T + U_2T
3.
T(U1U2)=(TU1)U2T(U_1U_2) = (TU_1)U_2
4.
TI=IT=TTI = IT = T
5.
a∈Fa \in F에 대하여 a(U1U2)=(aU1)U2=U1(aU2)a(U_1U_2) = (aU_1)U_2 = U_1(aU_2)
•
유한차원 벡터공간 V,W,ZV, W, Z와 선형 변환 T:V→W,U:W→ZT : V \to W, U : W \to Z가 있고 VV의 순서기저 α={v1,v2,...,vn}\alpha = \{ \bold{v}_1, \bold{v}_2,...,\bold{v}_n\}, WW의 순서기저 β={w1,w2,...,wn}\beta = \{ \bold{w}_1, \bold{w}_2,...,\bold{w}_n\}, ZZ의 순서기저 γ={z1,z2,...,zn}\gamma = \{ \bold{z}_1, \bold{z}_2,...,\bold{z}_n\}에 대하여 A=[U]βγ,B=[T]αβA = [U]_\beta^\gamma, B = [T]_\alpha^\beta라 하자.
◦
AB=[UT]αγ\bold{AB} = [UT]_\alpha^\gamma가 되도록 두 행렬곱 AB\bold{AB}를 다음처럼 정의한다.
(UT)(vj)=U(T(vj))=U(∑k=1mBkjwk)=∑k=1mBkjU(wk)=∑k=1mBkj(∑i=1pAikzi)=∑i=1p(∑k=1mAikBkj)zi=∑i=1pCijzi (Cij=∑k=1mAikBkj)\begin{aligned} (UT)(\bold{v}_j) &= U(T(\bold{v}_j)) = U \left( \sum_{k=1}^{m} B_{kj} \bold{w}_k \right) = \sum_{k=1}^{m} B_{kj} U(\bold{w}_k) \\ &= \sum_{k=1}^{m} B_{kj} \left( \sum_{i=1}^{p} A_{ik} \bold{z}_i \right) = \sum_{i=1}^{p} \left( \sum_{k=1}^{m} A_{ik} B_{kj} \right) \bold{z}_i \\ &= \sum_{i=1}^{p} C_{ij}\bold{z}_i \ \left(C_{ij} = \sum_{k=1}^{m} A_{ik}B_{kj} \right) \end{aligned}
•
위 계산에 따라 행렬곱을 다음 처럼 정의한다. m×nm \times n 행렬 A\bold{A}와 n×pn \times p 행렬 B\bold{B}에 대하여 두 행렬 A,B\bold{A, B}의 곱(product) AB\bold{AB}는 다음과 같이 정의된 m×pm \times p 행렬이다.
(1≤i≤m,1≤j≤p) (AB)ij=∑k=1nAikBkj(1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq p) \ (\bold{AB})_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj}
•
(AB)ij(\bold{AB})_{ij}는 A\bold{A}의 ii행과 B\bold{B}의 jj열에 대응하는 성분을 곱하고 합한 것이다.
◦
행렬의 곱은 ‘내부’ 차원이 같아야 가능하고, ‘외부’차원이 결과의 크기를 결정한다.
•
유한차원 벡터공간 V,W,ZV, W, Z와 각각의 순서기저 α,β,γ\alpha, \beta, \gamma, 선형변환 T:V→W,U:W→ZT: V \to W, U:W \to Z에 대하여 다음이 성립한다.
◦
두 선형변환의 곱은 그 사이에 있는 크기 β\beta가 맞아야 가능하고 그 결과의 크기는 그 외부에 있는 α,γ\alpha, \gamma의 크기가 된다.
[UT]αγ=[U]βγ[T]αβ[UT]_\alpha^\gamma = [U]_\beta^\gamma [T]_\alpha^\beta
•
유한차원 벡터공간 VV와 순서기저 β\beta, 선형연산자 T,U∈L(V)T,U \in \mathcal{L}(V)에 대해 다음이 성립한다.
[UT]β=[U]β[T]β[UT]_\beta= [U]_\beta[T]_\beta
•
A\bold{A}가 m×nm \times n 행렬, B\bold{B}와 C\bold{C}가 n×pn \times p 행렬, D\bold{D}와 E\bold{E}가 q×mq \times m 일 때 다음이 성립한다.
1.
A(B+C)=AB+AC\bold{A}(\bold{B} + \bold{C}) = \bold{AB} + \bold{AC}
2.
(D+E)A=DA+EA(\bold{D} + \bold{E})\bold{A} = \bold{DA} + \bold{EA}
3.
a∈Fa \in F에 대하여 a(AB)=(aA)B=A(aB)a(\bold{AB}) = (a\bold{A})\bold{B} = \bold{A}(a\bold{B})
4.
ImA=A=AIn\bold{I}_m\bold{A} = \bold{A} = \bold{AI}_n
•
m×nm \times n 행렬 A\bold{A}와 n×pn \times p 행렬 B1,B2,...,Bk\bold{B}_1, \bold{B}_2,...,\bold{B}_k, q×mq \times m 행렬 C1,C2,...,Ck\bold{C}_1, \bold{C}_2,...,\bold{C}_k, 스칼라 a1,a2,...,aka_1, a_2,...,a_k에 대해 다음이 성립한다.
A(∑i=1kaiBi)=∑i=1kaiABi(∑i=1kaiCi)A=∑i=1kaiCiA\bold{A}\left(\sum_{i=1}^{k} a_i \bold{B}_i \right) = \sum_{i=1}^{k} a_i \bold{A} \bold{B}_i \\ \left( \sum_{i=1}^{k} a_i \bold{C}_i \right)\bold{A} = \sum_{i=1}^{k} a_i \bold{C}_i \bold{A}
•
m×nm \times n 행렬 A\bold{A}와 n×pn \times p 행렬 B\bold{B}에 대해 j=1,2,...,pj = 1,2,...,p일 때 AB\bold{AB}의 jj열을 uj\bold{u}_j, B\bold{B}의 jj열을 각각 vj\bold{v}_j라 표기하면 다음이 성립한다.
1.
uj=Avj\bold{u}_j = \bold{A}\bold{v}_j
2.
vj=Bej\bold{v}_j = \bold{B}\bold{e}_j
•
여기서 ej\bold{e}_j는 FpF^p의 jj번째 표준벡터
•
V,WV, W는 유한차원 벡터공간이고, 순서기저는 각각 β,γ\beta, \gamma이다. 선형변환 T:V→WT:V \to W와 u∈V\bold{u} \in V에 대해 다음이 성립한다.
[T(u)]γ=[T]βγ[u]β[T(\bold{u})]_\gamma = [T]_\beta^\gamma[\bold{u}]_\beta
•
A\bold{A}는 m×nm \times n 행렬이고, 성분은 체 FF의 원소이다. 다음 선형변환을 간단히 LAL_\bold{A}라 하자.
LA:Fn→FmLA(x)=AxL_\bold{A} : F^n \to F^m\\ L_\bold{A}(\bold{x}) = \bold{Ax}
•
LAL_\bold{A}는 좌측 곱 변환(left multiplication transformation)이라 한다. 이때 x\bold{x}는 FnF^n의 열벡터이고 Ax\bold{Ax}는 A\bold{A}와 x\bold{x}의 행렬 곱이다.
•
A\bold{A}는 m×nm \times n 행렬이고, 성분은 체 FF의 원소이다. 좌측 곱 변환 LA:Fn→FmL_\bold{A} : F^n \to F^m은 선형이다. 또한 임의의 m×nm \times n 행렬 B\bold{B}(성분은 체 FF의 원소)와 FnF^n의 표준 순서기저 β\beta, FmF^m의 표준 순서기저 γ\gamma에 대해 다음이 성립한다.
1.
[LA]βγ=A[L_\bold{A}]_\beta^\gamma = \bold{A}
2.
LA=LB⇔A=BL_\bold{A} = L_\bold{B} \Leftrightarrow \bold{A} = \bold{B}
3.
LA+B=LA+LBL_{\bold{A}+\bold{B}} = L_\bold{A} + L_{\bold{B}}
4.
모든 a∈Fa \in F에 대하여 LaA=aLAL_{a\bold{A}} = aL_\bold{A}
5.
T:Fn→FmT:F^n \to F^m이 선형이면 T=LCT = L_\bold{C}가 되도록하는 m×nm \times n 행렬 C\bold{C}가 유일하게 존재한다. 실제로는 C=[T]βγ\bold{C} = [T]_\beta^\gamma
6.
E\bold{E}가 n×pn \times p 행렬이면 LAE=LALEL_{\bold{AE}} = L_\bold{A} L_\bold{E}
7.
m=nm = n이면 LIn=IFnL_{\bold{I}_n} = \bold{I}_{F^n}
•
A(BC)\bold{A}(\bold{BC})를 정의할 수 있는 행렬 A,B,C\bold{A}, \bold{B}, \bold{C}는 (AB)C(\bold{AB})\bold{C}도 정의할 수 있고 A(BC)=(AB)C\bold{A}(\bold{BC}) = (\bold{AB})\bold{C}이다. 즉 행렬 곱에서 결합법칙이 성립한다.

참조

•
Made with